Supponiamo di avere due basi \(\mathcal{V}=\{v_1, \dots, v_n\}\) e \(\mathcal{W}=\{w_1, \dots, w_n\}\) di uno spazio vettoriale \(V\), di dimensione \(n\).
Supponiamo inoltre di essere riusciti a scrivere
\( v_1=a_{11} w_1 + \dots + a_{n1} w_n\)
\( v_2=a_{12} w_1 + \dots + a_{n2} w_n\)
\( \vdots\)
\( v_n=a_{1n} w_1 + \dots + a_{nn} w_n\)
Allora la matrice di cambio di base è la matrice della funzione identità
\(\left(V,\mathcal{V}\right)\overset{id}{ \longrightarrow } \left(V,\mathcal{W}\right) \)
che si ottiene leggendo i coefficienti \(a_{ij}\) in riga e scrivendoli in colonna:
\(M_{\mathcal{V}}^{\mathcal{W}}(id)=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\)
Infatti:
- \(w_1\) scritto nella base \(\mathcal{W}\) ha coordinate \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots &0\end{pmatrix}^{T}\);
- \(w_2\) scritto nella base \(\mathcal{W}\) ha coordinate \(\begin{pmatrix} 0&1 &0 & \dots &0\end{pmatrix}^{T} \);
- …
- \(w_n\) scritto nella base \(\mathcal{W}\) ha coordinate \(\begin{pmatrix} 0 & 0&0 &\dots &1\end{pmatrix}^{T}\)
e quindi \(v_1\), ad esempio, che nella base \(\mathcal{V}\) si rappresenta con \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots &0\end{pmatrix}^{T}\), nella base \(\mathcal{W}\) si scrive come
\(v_1=a_{11} w_1 + \dots + a_{n1} w_n= a_{11} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ \dots \\0\end{pmatrix} + \dots+ a_{n1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\0 \\ \dots \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ \dots \\ a_{n1} \end{pmatrix} \)
che non è altro che il prodotto
\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ \dots \\ a_{n1} \end{pmatrix}.\)
Introduciamo ora la notazione \(\left[v\right]^{\mathcal{B}}\) per indicare le coordinate di un vettore \(v\) rispetto a una generica base \(\mathcal{B}\). Allora la relazione che abbiamo appena scritto è:
\(M_{\mathcal{V}}^{\mathcal{W}}(id) \left[v_1\right]^{\mathcal{V}} = \left[v_1\right]^{\mathcal{W}}\).
Nota: in maniera impropria si potrebbe dire che è come se la base \(\mathcal{V}\) si semplificasse.
Per fare il procedimento inverso, cioè per andare dalla base \(\mathcal{W}\) alla base \(\mathcal{V}\) serve usare invece la matrice \(M_{\mathcal{W}}^{\mathcal{V}}(id)\). Ora però, siccome il prodotto di matrici corrisponde alla composizione delle funzioni
\(\left(V,\mathcal{V}\right) \overset{id}{ \longrightarrow } \left(V,\mathcal{W}\right) \overset{id}{ \longrightarrow } \left(V,\mathcal{V}\right)\)
e la matrice \(M_{\mathcal{V}}^{\mathcal{V}}(id)\) è la matrice identica \( \mathbf{1}\), allora
\(M_{\mathcal{W}}^{\mathcal{V}}(id) M_{\mathcal{V}}^{\mathcal{W}}(id)=\mathbf{1} \)
e cioè
\(M_{\mathcal{W}}^{\mathcal{V}}(id) =\left[ M_{\mathcal{V}}^{\mathcal{W}} (id) \right]^{-1}.\)